本節課將介紹常態分配的性質、標準常態分配的查表、標準分數及其應用問題。

 

常態分配(normal distribution)，又稱高斯分佈，是統計學中最常見的分佈之一。其機率密度函數(probability density function, pdf) 呈鐘形曲線 (bell-shaped)，具有以下幾個主要性質：
1. 對稱性：常態分配的曲線關於平均數對稱，左右兩側的形狀完全相同。
2.單峰性：常態分配的曲線只有一個最高點，即平均數所在的位置。
3.68-95-99.73法則：在常態分配中，大約68%的數據落在平均數加減一個標準差之內，95%的數據落在平均數加減兩個標準差之內，99.73%的數據落在平均數加減三個標準差之內。
4. 漸近性：常態分配的曲線向兩側無限延伸但永不觸及橫軸。

 

標準常態分配是指平均數為0、標準差為1的常態分配。統計學中常使用標準常態分配表（Z表, 請看課本）來查找特定Z值對應的累積機率。查表過程如下：
1. 確定Z值：Z值表示某個數據點距離平均數的標準差數。
2. 查表：根據Z值找到對應的累積機率，即從負無限大到該Z值的面積。例如，Z值為1.96時，累積機率約為0.975，表示在標準常態分配中，約97.5%的數據位於平均數加減1.96個標準差之內。

 

標準分數，又稱Z分數，是用來表示某個數據點距離平均數的標準差數。計算公式為：
$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$
其中，X是數據點，μ是平均數，σ是標準差。標準分數可以將不同數據轉換到標準常態分配上，便於比較。

 

常態分配和標準分數在現實中有廣泛的應用：
1. 成績評估：將學生成績轉換為標準分數，以便於不同班級或學校之間的比較。
2. 品質控制：在製造業中，使用常態分配來分析產品的品質分佈，確定合格品和次品的比例。
3. 新生兒身高和體重分佈：醫院通常使用常態分配來分析新生兒的身高和體重分佈，確定哪些嬰兒的身高和體重在正常範圍內。這有助於及時發現和處理健康問題，確保新生兒的健康成長。

 

透過本節課程的學習，同學們將能夠理解常態分配的基本性質，掌握標準常態分配的查表方法，並能夠計算和應用標準分數來解決實際問題。這些知識不僅是統計學的重要基礎，還在許多實際領域中有著廣泛的應用。